/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Kostki/4 kostki

Zadanie nr 8130505

Rzucamy czterokrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy dokładnie dwie dwójki lub dokładnie dwie piątki. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z zdarzenia elementarne przyjmujemy czteroelementowe ciągi otrzymanych liczb oczek. Mamy więc

|Ω | = 6⋅6 ⋅6 ⋅6 = 64.

Dwójki i piątki pełnią dokładnie taką samą rolę, więc jest dokładnie tyle samo zdarzeń z dwoma dwójkami, co z dwoma piątkami. Miejsca dla dwóch dwójek (lub piątek) możemy wybrać na

( ) 4 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

sposobów, a potem każdy z dwóch pozostałych wyników możemy wybrać na 5 sposobów. Jest więc

6⋅5 ⋅5 = 6 ⋅25

zdarzeń z dwoma dwójkami i tyle samo zdarzeń z dwoma piątkami.

Teraz trzeba jednak odrobinę uważać, bo niektóre zdarzenia policzyliśmy dwukrotnie: są to zdarzenia w których są zarówno 2 dwójki jak i 2 piątki. Takich zdarzeń jest 6:

(2,2,5,5),(2,5,2,5),(2,5 ,5 ,2), (5,5,2,2),(5,2,5,2),(5,2 ,2 ,5).

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

2-⋅6⋅2-5−--6 2-⋅25-−-1 -49- 64 = 63 = 216 .

 
Odpowiedź: -49 216

Wersja PDF