Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4895662

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jak zwykle w zadaniach z cyframi musimy uważać na pierwszą cyfrę – żeby przypadkiem nie umieścić tam zera. Z tego powodu rachunek, ile jest liczb spełniających warunki zadania rozbijemy na trzy przypadki.

Załóżmy najpierw, że pierwsza cyfra (najbardziej znacząca) nie jest jedynką ani dwójką. W takiej sytuacji miejsca dla jedynek możemy wybrać na

( 6) 6 ⋅5⋅ 4 6 ⋅5 ⋅4 = ------- = ------- = 5 ⋅4 = 20 3 3! 6

sposobów. Potem wybieramy miejsca dla dwójek – możemy to zrobić na

( ) 3 = 3⋅-2 = 3 2 2

sposoby. Następnie wybieramy pierwszą cyfrę – możemy to zrobić na 7 sposobów (nie może być zerem, jedynką ani dwójką). Na koniec ostatnią z nieustalonych cyfr wybieramy na 8 sposobów (nie może być jedynka ani dwójka). W tym przypadku jest więc

20 ⋅3⋅7 ⋅8 = 3360

liczb spełniających warunki zdania.

Jeżeli teraz pierwszą cyfrą tworzonej liczby jest jedynka, to miejsca dla pozostałych dwóch jedynek możemy wybrać na

( 6) 6 ⋅5 = ---- = 1 5 2 2

sposobów. Potem na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów wybieramy miejsca dla dwójek. Na koniec na każdym z pozostałych dwóch miejsc umieszczamy jedną z 8 cyfr. W tym przypadku jest więc

15 ⋅6⋅8 ⋅8 = 5760

liczb spełniających warunki zdania.

Jeżeli wreszcie na pierwszym miejscu umieścimy dwójkę, to na 6 sposób wybieramy miejsce dla drugiej dwójki. Na

(5 ) 5⋅4 ⋅3 5 ⋅4⋅3 = -------= -------= 10 3 3! 6

sposobów wybieramy miejsce dla jedynek i na koniec na każdym z pozostałych dwóch miejsc umieszczamy jedną z 8 cyfr. W tym przypadku jest więc

6⋅ 10⋅8 ⋅8 = 3840

liczb spełniających warunki zdania.

W sumie jest więc

3360 + 57 60+ 3840 = 12 960

takich liczb.  
Odpowiedź: 12960

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!