Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.
Aby znaleźć punkt wspólny dla prostych
i
musimy wyznaczyć równania tych prostych.
Najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci
. Podstawiamy współrzędne punktów
i
i mamy
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy . Stąd
i prosta
ma równanie:
.
Szukamy teraz prostej w postaci
. Podstawiamy współrzędne punktów
i
i mamy
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy , czyli
. Stąd
i prosta
ma równanie:
.
Wyznaczamy teraz punkt wspólny prostych
i
.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
Stąd i
.
Do wyznaczenia promienia okręgu będziemy potrzebować równania prostej . Jak zwykle szukamy prostej w postaci
. Podstawimy współrzędne punktów
i
.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy , czyli
. Stąd
i prosta
ma równanie:
.
Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.
Sposób I
Niech będzie punktem wspólnym szukanego okręgu i prostej
. Dość łatwo jest wyznaczyć równanie prostej
– jest to prosta prostopadła do
, czyli prosta postaci
i przechodząca przez
. Podstawiając współrzędne punktu
mamy
Jest to więc prosta: . Obliczamy teraz współrzędne punktu
(czyli punktu wspólnego prostych
i
).
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy , czyli
. Stąd
i
.
Obliczamy teraz długość promienia okręgu.
Szukany okrąg ma więc równanie
Sposób II
Długość promienia możemy obliczyć korzystając ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:
W naszej sytuacji , a prosta to
. Mamy zatem
Szukany okrąg ma więc równanie
Odpowiedź: