Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2783665

Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A = (− 1,− 5),B = (5,1),C = (1,3),D = (− 2,0) . Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu ABCD .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.


PIC


Aby znaleźć punkt O wspólny dla prostych AD i BC musimy wyznaczyć równania tych prostych.

Najpierw równanie prostej AD . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów A i D i mamy

{ − 5 = −a + b 0 = −2a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy a = − 5 . Stąd b = 2a = − 10 i prosta AD ma równanie: y = − 5x − 1 0 .

Szukamy teraz prostej BC w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów B i C i mamy

{ 1 = 5a + b 3 = a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 4a = − 2 , czyli  1 a = − 2 . Stąd b = 3− a = 72 i prosta BC ma równanie: y = − 12x + 72 .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny O prostych AD i BC .

{ y = − 5x − 1 0 1 7 y = − 2 x+ 2.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 1 7 0 = − -x + 5x + --+ 10 2 2 27- 9- 2- − 2 = 2x / ⋅9 − 3 = x.

Stąd y = − 5x − 1 0 = 5 i O = (− 3,5) .

Do wyznaczenia promienia okręgu będziemy potrzebować równania prostej AB . Jak zwykle szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawimy współrzędne punktów A i B .

{ − 5 = −a + b 1 = 5a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6a = 6 , czyli a = 1 . Stąd b = − 5+ a = − 4 i prosta AB ma równanie: y = x − 4 .

Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Niech E będzie punktem wspólnym szukanego okręgu i prostej AB . Dość łatwo jest wyznaczyć równanie prostej OE – jest to prosta prostopadła do AB , czyli prosta postaci y = −x + b i przechodząca przez O . Podstawiając współrzędne punktu O mamy

5 = 3+ b ⇒ b = 2.

Jest to więc prosta: y = −x + 2 . Obliczamy teraz współrzędne punktu E (czyli punktu wspólnego prostych OE i AB ).

{ y = −x + 2 y = x − 4

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 2x − 6 = 0 , czyli x = 3 . Stąd y = x− 4 = − 1 i E = (3,− 1) .

Obliczamy teraz długość promienia OE okręgu.

OE 2 = (3 + 3)2 + (− 1− 5)2 = 36 + 36 = 7 2.

Szukany okrąg ma więc równanie

 2 2 (x + 3) + (y − 5) = 72.

Sposób II

Długość promienia OE możemy obliczyć korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji P = O = (− 3,5) , a prosta to AB : y − x + 4 = 0 . Mamy zatem

 |5 + 3 + 4| 12 √ -- OE = -√---------= √---= 6 2 . 1 + 1 2

Szukany okrąg ma więc równanie

 √ -- (x + 3)2 + (y − 5)2 = (6 2)2 = 72.

 
Odpowiedź: (x + 3)2 + (y − 5)2 = 72

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!