Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A=(-1,-5), B=(5,1),... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Trapez, 2783665

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Trapez

Zadanie nr 2783665

Wierzchołki trapezu $ABCD$ mają współrzędne: $A = (− 1,− 5),B = (5,1),C = (1,3),D = (− 2,0)$ . Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy $AB$ tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona $AD$ oraz $BC$ trapezu $ABCD$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Aby znaleźć punkt $O$ wspólny dla prostych $AD$ i $BC$ musimy wyznaczyć równania tych prostych.

Najpierw równanie prostej $AD$ . Szukamy prostej w postaci $y = ax + b$ . Podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $D$ i mamy

{ − 5 = −a + b 0 = −2a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy $a = − 5$ . Stąd $b = 2a = − 10$ i prosta $AD$ ma równanie: $y = − 5x − 1 0$ .

Szukamy teraz prostej $BC$ w postaci $y = ax + b$ . Podstawiamy współrzędne punktów $B$ i $C$ i mamy

{ 1 = 5a + b 3 = a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy $4a = − 2$ , czyli $1 a = − 2$ . Stąd $b = 3− a = 72$ i prosta $BC$ ma równanie: $y = − 12x + 72$ .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny $O$ prostych $AD$ i $BC$ .

{ y = − 5x − 1 0 1 7 y = − 2 x+ 2.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1 7 0 = − -x + 5x + --+ 10 2 2 27- 9- 2- − 2 = 2x / ⋅9 − 3 = x.

Stąd $y = − 5x − 1 0 = 5$ i $O = (− 3,5)$ .

Do wyznaczenia promienia okręgu będziemy potrzebować równania prostej $AB$ . Jak zwykle szukamy prostej w postaci $y = ax+ b$ . Podstawimy współrzędne punktów $A$ i $B$ .

{ − 5 = −a + b 1 = 5a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy $6a = 6$ , czyli $a = 1$ . Stąd $b = − 5+ a = − 4$ i prosta $AB$ ma równanie: $y = x − 4$ .

Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Niech $E$ będzie punktem wspólnym szukanego okręgu i prostej $AB$ . Dość łatwo jest wyznaczyć równanie prostej $OE$ – jest to prosta prostopadła do $AB$ , czyli prosta postaci $y = −x + b$ i przechodząca przez $O$ . Podstawiając współrzędne punktu $O$ mamy