Zadanie nr 7686223

W kwadracie ABCD połączono środki boków otrzymując kwadrat P QRS .

Kwadrat PQRS jest podobny do kwadratu ABCD w skali
A) √ -- 2 B) 2 C) 1 2 D) √ 2 -2-

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli oznaczymy bok kwadratu ABCD przez , to przekątna mniejszego kwadratu ma długość , a przekątna większego kwadratu ma długość √ -- a 2 .

Zatem skala podobieństwa jest równa

√ -- -a--- -1-- ---2 √ --= √ --= 2 . a 2 2

Sposób II

Zamiast patrzeć na przekątne, możemy wyliczyć długość boku mniejszego kwadratu.

Jak poprzednio, oznaczmy długość boku dużego kwadratu przez , wtedy na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DSR mamy

∘ -------- ∘ ---- √ -- ∘ ------------ a2 a 2 2a2 2a SR = DS 2 + DR 2 = ---+ ---= ----= -----. 4 4 4 2

Zatem skala podobieństwa jest równa

√- -2a- √ -- --2- = --2. a 2

Odpowiedź: D