Zadanie nr 3930304

Oblicz długość krzywej 3 1 3 x = t ,y = 1 − 3t ,gdzie [ √ --] t ∈ 0, 3 .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b∘ ----------------- [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt a

na długość krzywej o parametryzacji (x(t),y(t)) , gdzie t ∈ [a,b] .

W naszej sytuacji mamy

x′(t) = 3t2 ′ 2 y (t) = −t √ - √- ∫ b ∘ ----------------- ∫ 3∘ -------- √ ---∫ 3 [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt = 9t4 + t4dt = 10 t2dt = a √- 0 0 √ ---[1 ] 3 √ --- 1 √ -- √ --- = 10 --t3 = 10 ⋅--⋅3 3 = 30. 3 0 3

Odpowiedź: √ 30-