Zadanie nr 5393255

Uzasadnij, że jeżeli jest liczbą rzeczywistą różną od zera i 1 a+ a = 3 , to a2 + a12 = 7 .

Rozwiązanie

Sposób I

Podnieśmy daną równość stronami do kwadratu

a+ 1-= 3 /()2 a ( 1) 2 a+ -- = 9 a 2 1-- a + 2+ a2 = 9 1 a2 + -2-= 7. a

Sposób II

Przekształcamy lewą stronę

1 1 a2 + ---= a2 + 2+ --− 2 = a2 ( ) a2 1 2 = a + a- − 2 = = 32 − 2 = 9− 2 = 7.

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę

2 -1- a4-+-1 a4 +-2a2 +-1−--2a2 a + a 2 = a2 = a2 = 2 2 2 ( 2 )2 = (a-+--1)-− 2a--= a-+-1- − 2 = a2 a2 a ( ) 2 = a + 1- − 2 = 32 − 2 = 7. a