Zadanie nr 8368051
Dany jest trójkąt równoboczny 
o boku długości 8. Ze środka 
boku 
zakreślono koło o promieniu równym połowie boku trójkąta (zobacz rysunek).
Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.
Krótsze z łuków wyciętych przez punkty  i  , oraz  i  z danego okręgu, mają tą samą długość. | P | F |
Odcinek  jest dwa razy dłuższy od odcinka  . | P | F |
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że kąt 
jako kąt oparty na średnicy jest prosty, więc 
jest wysokością trójkąta równobocznego 
.
To oznacza, że punkt 
jest środkiem boku 
i trójkąt 
jest równoboczny. Dokładnie z takich samych powodów trójkąt 
jest równoboczny. To oznacza, że 
i
czyli trójkąt 
też jest równoboczny. To oczywiście oznacza, że łuki 
i 
faktycznie mają tą samą długość, bo są odcięte przez cięciwy tej samej długości: 
. Ponadto,
Odpowiedź: P, F
