Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9930402

Punkt M jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego ABCD . Punkt N jest punktem wspólnym przekątnej BD i wysokości CE opuszczonej na dłuższą podstawę AB . Wykaż, że |DM |2 = |MN |⋅|MB | .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy, że mamy dwie pary podobnych trójkątów AMD i CMN , oraz ABM i CDM (podobieństwo wynika z równości zaznaczonych kątów).


PIC


Z pierwszego podobieństwa mamy

DM---= MA--, MN MC

a z drugiego

DM MC -----= ----. MB MA

Mnożąc te dwie równości stronami mamy

 DM 2 MA MC ----------= -----⋅-----= 1. MN ⋅ MB MC MA

Zatem rzeczywiście

 2 DM = MN ⋅MB .
Wersja PDF