Zadanie nr 3594132

W trapez prostokątny wpisano okrąg o promieniu . Najkrótszy bok tego trapezu ma długość 1,5r . Oblicz pole tego trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Jeżeli oznaczymy HB = x , to ponieważ w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe, mamy

AD + BC = AB + CD 3 3 2r + BC = -r + x + --r ⇒ BC = x + r. 2 2

Napiszmy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie HBC .

HB 2 + HC 2 = BC 2 x 2 + 4r2 = (x+ r)2 2 2 2 2 x + 4r = x + 2xr+ r 2 3r- 2xr = 3r ⇒ x = 2 .

Zatem pole trapezu jest równe

P = AB--+-CD--⋅2r = 9r2. 2 2

Odpowiedź: 9r2 2