Zadanie nr 8859518
Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 30. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od rysunku.
Jeżeli oznaczymy długość ramienia przez , to krótsza podstawa ma długość
. Ponieważ będzie nas interesować jakie wartości może przyjmować
(dziedzina szukanej funkcji), zauważmy, że w tym miejscu musimy mieć
i jednocześnie
może być dowolnie bliskie 30 (skraca się krótsza podstawa).
Wiadomo, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe. W naszym trapezie są one równe (suma długości ramion), więc dłuższa podstawa musi mieć długość:
![2x− (30 − x) = 3x − 3 0.](https://img.zadania.info/zad/8859518/HzadR7x.gif)
Znamy sumę podstaw trapezu, pozostało nam więc wyliczyć długość jego wysokości. Zrobimy to z trójkąta prostokątnego .
Ponieważ , odcinki
muszą mieć długość
![AB-−--EF--= 3x-−--30−--30+--x = 2x − 30. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8859518/HzadR11x.gif)
Zauważmy, że ten wzór daje nam kolejne ograniczenie na :
ma być dłuższą podstawą, czyli
![0 < AE = 2x − 30 ⇒ 15 < x.](https://img.zadania.info/zad/8859518/HzadR14x.gif)
Jednocześnie powinno być jasne, że może być dowolnie blisko 15 (dla
dostajemy kwadrat).
Liczymy wysokość
![∘ ------------ ∘ ---------------- ∘ ----------------------------- h = AD 2 − AE 2 = x2 − (2x − 3 0)2 = (x − (2x − 30 ))(x+ 2x− 30) = ∘ ------------------ ∘ ------------------ = (30 − x)(3x − 30) = 3 (3 0− x)(x − 10).](https://img.zadania.info/zad/8859518/HzadR17x.gif)
Zatem pole jest równe
![∘ ------------------ P = AB--+--CD- ⋅h = AD--+-BC--⋅h = x 3(30 − x)(x − 10). 2 2](https://img.zadania.info/zad/8859518/HzadR18x.gif)
Jak już ustaliliśmy po drodze, dziedziną tej funkcji jest przedział .
Odpowiedź: ,