Zadanie nr 9059051

Udowodnij, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Jeżeli i są długościami podstaw trapezu, to ponieważ w trapez można wpisać okrąg, to

AD + BC = AB + CD ⇒ AD = a+--b. 2

Ponadto

AE = b-−-a-. 2

Napiszmy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AED .

2 2 2 AE + ED = AD (b − a)2 2 (a+ b)2 -------- + 4r = -------- 4 2 2 4 2 2 4r2 = a-+-b--+-2ab-−-(a--+-b--−-2ab-) 4 4ab √ - 4r2 = ---- / √ -4- 2r = ab .