Zadanie nr 8759703
Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości i
. Punkt
leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że promień tego okręgu jest równy
.
Rozwiązanie
Dorysujmy drugi promień danego okręgu – łączący jego środek z punktem styczności z bokiem długości .
Sposób I
Trójkąty prostokątne i
są podobne (bo każdy z nich jest podobny do trójkąta
), więc
![OD-- = CE-- DB EO --r-- a−-r- b − r = r .](https://img.zadania.info/zad/8759703/HzadR5x.gif)
Stąd
![r2 = (a− r)(b− r) = ab− ar− br + r2 ar+ br = ab -ab--- r(a+ b) = ab ⇒ r = a+ b .](https://img.zadania.info/zad/8759703/HzadR6x.gif)
Sposób II
Tym razem połączmy środek okręgu z wierzchołkiem
kąta prostego.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/8759703/HzadR9x.gif)
Patrzymy teraz na dwa trójkąty: i
.
![PABC = PABO + PACO / ⋅ 2 ab = br+ ar --ab-- ab = r(a+ b) ⇒ r = a + b .](https://img.zadania.info/zad/8759703/HzadR12x.gif)