Zadanie nr 9226762
W romb o boku wpisano dwa okręgi w ten sposób, że okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich boków rombu przecinających się pod kątem ostrym (zobacz rysunek).
Udowodnij, że suma promieni tych okręgów jest równa .
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak rysunku poniżej, tzn. oznaczmy przez i środki okręgów, a przez i ich promienie.
Ponieważ każdy z okręgów jest styczny do boków i rombu, ich środki leżą na dwusiecznej kąta , czyli na przekątnej . Widać, że w trójkątach prostokątnych i możemy powiązać i z odcinkami przekątnej, a dokładniej
Zanim wykorzystamy tą informację, obliczmy długość przekątnej . Patrzymy na trójkąt prostokątny .
Mamy zatem
Stąd
Wyrażenie, które otrzymaliśmy zaczyna już przypominać tezę, którą mamy udowodnić, ale musimy jeszcze zamienić na . Korzystamy w tym celu ze wzoru
Mamy zatem
(możemy wciągnąć pierwiastek, bo jest kątem ostrym). Wracamy teraz do wzoru na sumę promieni okręgów.