/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb/Udowodnij...

Zadanie nr 9226762

W romb o boku a wpisano dwa okręgi w ten sposób, że okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich boków rombu przecinających się pod kątem ostrym α (zobacz rysunek).


PIC


Udowodnij, że suma promieni tych okręgów jest równa 2+√2a2s−in2αcosα- .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak rysunku poniżej, tzn. oznaczmy przez S1 i S2 środki okręgów, a przez r1 i r2 ich promienie.


PIC


Ponieważ każdy z okręgów jest styczny do boków AB i AD rombu, ich środki leżą na dwusiecznej kąta BAD , czyli na przekątnej AC . Widać, że w trójkątach prostokątnych AES 1 i CF S 2 możemy powiązać r 1 i r 2 z odcinkami przekątnej, a dokładniej

-r1-- α- -r1-- AS 1 = sin 2 ⇒ AS 1 = sin α r α r 2 -2--= sin -- ⇒ CS 2 = ---2α. CS2 2 sin 2

Zanim wykorzystamy tą informację, obliczmy długość przekątnej AC . Patrzymy na trójkąt prostokątny CDT .

CT-- α- α- CD = c os2 ⇒ AC = 2CT = 2a cos 2.

Mamy zatem

 α r r 2a cos --= AC = AS 1 + S1S2 + CS 2 = ---1α + r1 + r2 + --2α- 2 sin 2 sin 2 α ( 1 ) 2a cos --= (r1 + r2) 1 + ----α . 2 sin 2

Stąd

 2a cos α 2asin αco s α a sin α r1 + r2 = ----α--2 = ------2--α-2-= --------α. sin-2+α1 1+ sin 2 1 + sin 2 sin2

Wyrażenie, które otrzymaliśmy zaczyna już przypominać tezę, którą mamy udowodnić, ale musimy jeszcze zamienić  α sin 2 na cos α . Korzystamy w tym celu ze wzoru

cos2x = 1− 2sin2 x.

Mamy zatem

 α cos α = 1 − 2 sin 2-- 2 √ ----------- 2 α 1-−-co-sα α- --2-−-2-cos-α sin 2 = 2 ⇒ sin 2 = 2

(możemy wciągnąć pierwiastek, bo α 2 jest kątem ostrym). Wracamy teraz do wzoru na sumę promieni okręgów.

 -a-sin-α-- ----asin-α---- ----2a-sinα------ r1 + r2 = 1+ sin α = √-2−2cosα-= 2+ √ 2−--2co-sα. 2 1 + 2
Wersja PDF
spinner