Zadanie nr 8927729
W równoległoboku, w którym boki mają długości 1 i 3, symetralna krótszego boku przechodzi przez wierzchołek równoległoboku. Znajdź długości przekątnych tego równoległoboku.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Odcinek jest jednocześnie wysokością i symetralną boku
trójkąta
. Oznacza to, że trójkąt ten jest równoramienny. Zatem
. Długość drugiej przekątnej wyliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Jak się dobrze przyjrzeć, to wszystkie interesujące nas odcinki są w trójkącie i możemy się na nim skoncentrować. Tak naprawdę musimy wyliczyć długość jego środkowej
(przekątna
jest dwa razy dłuższa). Zrobimy to stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie
, ale najpierw wyliczymy
.
![1 cosα = DE--= 2-= 1-. DB 3 6](https://img.zadania.info/zad/8927729/HzadR10x.gif)
Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów.
![2 2 2 AS = AD + DS − 2AD ⋅DS cosα 2 9- 3- 1- 9- 1- 11- AS = 1 + 4 − 2 ⋅2 ⋅ 6 = 1 + 4 − 2 = 4 √ --- √ --- AS = --1-1 ⇒ AC = 11. 2](https://img.zadania.info/zad/8927729/HzadR11x.gif)
Sposób II
Zauważmy, że odcinki i
są środkowymi w trójkącie
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/8927729/HzadR15x.gif)
Wiemy, że środkowe dzielą się w stosunku , więc jeżeli
jest ich punktem wspólnym to
![∘ ------ ∘ --- --- ∘ ------------ 1 35 √ 35 BE = AB 2 − AE 2 = 9− --= ---= ----- √ --- 4 4 2 1 35 GE = 3BE = -6--- ∘ ------------ ∘ -------- ∘ --- ∘ --- √ --- AG = AE 2 + GE 2 = 1-+ 35-= 44-= 11-= --11- 4 36 36 9 3 3 √ --- AC = 2AS = 2 ⋅--⋅AG = 3AG = 11. 2](https://img.zadania.info/zad/8927729/HzadR18x.gif)
Sposób III
Tym razem dorysujmy wysokość równoległoboku opuszczoną z wierzchołka
.
Mamy zatem trójkąt prostokątny – z niego wyliczymy długość przekątnej
. Mamy
![2 2 2 2 2 2 AC = AF + FC = (AB − BF )+ F C = 1- 9- = 9− 4 + 4 = 9+ 2 = 11 √ --- AC = 11.](https://img.zadania.info/zad/8927729/HzadR23x.gif)
Odpowiedź: 3 i