Zadanie nr 8025797
Dany jest kwadrat o boku długości
. Punkt
jest środkiem boku
. Przekątna
dzieli trójkąt
na dwie figury:
oraz
(zobacz rysunek).
Oblicz pola figur oraz
.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy przez pole kwadratu
, to oczywiście
![PACD = 1P 2 1- PAGD = 4P .](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR2x.png)
Trójkąty i
mają równe podstawy:
oraz wspólną wysokość opuszczoną na te podstawy. Zatem
![1 1 PAED = PACE = -PACD = -P . 2 4](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR6x.png)
Sposób I
Zauważmy, że odcinki i
to środkowe w trójkącie
, więc dzielą się w stosunku
![AF : F E = DF : FG = 1 : 2.](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR10x.png)
W szczególności, i
![P = 1-P = 1⋅ 1P = -1-P AGF 3 AGD 3 4 12](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR12x.png)
(bo trójkąty i
mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą
). Stąd
![1- 1-- -2- 1- PCEFG = PACE − PAGF = 4P − 12P = 12P = 6 P.](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR16x.png)
Sposób II
Dorysujmy odcinek .
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR18x.png)
Trójkąt jest równoramienny (bo
jest w nim jednocześnie środkową i wysokością). W takim razie
![PAGF = PFCG .](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR21x.png)
Z drugiej strony,
![1- PAGF = PAGD − PAFD = 4P − PAFD = PAED − PAFD = PDEF = PEFC](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR22x.png)
(ostatnia równość wynika z tego, że trójkąty i
mają wspólną wysokość opuszczoną na ich podstawy
). Zatem
![PCEFG = PFCG + PEFC = PAGF + PAGF = 2PAGF .](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR26x.png)
Stąd
![1- -1- 2 PAGF = 3 PACE = 12 a 1 PCEFG = 2PAGF = -a2. 6](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR27x.png)
Sposób III
Dorysujmy odcinek , który łączy środki boków w trójkącie
. Jest on więc równoległy do
(czyli czworokąt
jest trapezem) i
. To oznacza, że trójkąty
i
mają równe kąty, czyli są podobne. Skala ich podobieństwa to
, więc
i trójkąt
jest 3 razy mniejszy od trójkąta
. Stąd
![PEFG = 1EG ⋅FH = 1-⋅ 1AD ⋅ 1DE = 1-⋅ 1-a⋅ 1-⋅ 1a = 1-a2 = 1-P . 2 2 2 3 2 2 3 2 24 24](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR39x.png)
Teraz już z górki
![1 1 4 1 PCEFG = PEFG + PEGC = 24P + 8P = 24-P = 6P PAGF = PACE − PEFGC = 1P − 1P = -1-P. 4 6 12](https://img.zadania.info/zad/8025797/HzadR40x.png)
Odpowiedź: