/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Przekroje

Zadanie nr 4065428

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Przez krawędź podstawy tego ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem β , i która przecina przeciwległą krawędź ostrosłupa (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz stosunek pola powierzchni otrzymanego przekroju do pola powierzchni podstawy ostrosłupa jeżeli wiadomo, że 5 sinα = 4sin(α + β ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaznaczmy kąty opisane w treści zadania i oznaczmy długość krawędzi podstawy ostrosłupa przez a .

PIC

Ponieważ niespecjalnie widać co oznacza podana zależność między sinusami, zastanówmy się najpierw co mamy obliczyć. Otrzymany przekrój oraz podstawa ostrosłupa mają wspólną krawędź AC . Jeżeli oznaczymy przez h1 = EF i h = BF wysokości tych dwóch trójkątów opuszczone na tą krawędź, to mamy

1 PAEC--= 2ah1-= h1. PABC 12ah h

Musimy ten stosunek jakoś powiązać z sinusami – rozwiązanie powinno nasuwać się samo – stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie BEF .

h1 h h h -----= ----------= -------∘------------= ----------- sin α sin ∡F EB sin(180 − (α + β)) sin(α + β)

Zatem

PAEC h1 sin α 4 ------= ---= ----------- = --. PABC h sin(α + β ) 5

 
Odpowiedź: 45

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie