Zadanie nr 6157650
Reszta z dzielenia liczby przez 4 jest równa 3. Reszta z dzielenia liczby
przez 4 jest równa 1. Wykaż, że różnica kwadratów liczb
i
jest podzielna przez 4.
Rozwiązanie
Na mocy podanych informacji możemy przyjąć, że i
.
Sposób I
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
![x2 − y2 = (4m + 3)2 − (4n + 1)2 = 16m 2 + 24m + 9 − (16n 2 + 8n + 1) = = 4(4m 2 + 6m − 4n2 − 2n + 2).](https://img.zadania.info/zad/6157650/HzadR2x.gif)
Widać teraz, że liczba ta rzeczywiście dzieli się przez 4.
Sposób II
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia różnicę kwadratów.
![x2 − y2 = (4m + 3)2 − (4n + 1)2 = (4m + 3 + 4n + 1)(4m + 3 − 4n − 1 ) = = 4(m + n + 1)(4m − 4n + 2).](https://img.zadania.info/zad/6157650/HzadR3x.gif)
Widać teraz, że liczba ta rzeczywiście dzieli się przez 4.