/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Pole

Zadanie nr 7389711

Dany jest okrąg o1 . Kreślimy cięciwę AB nieprzechodzącą przez środek okręgu o1 , a następnie rysujemy okrąg o2 współśrodkowy z okręgiem o1 i styczny do cięciwy AB . Okręgi o1 i o2 ograniczają pierścień kołowy. Uzasadnij, że pole pierścienia kołowego nie zależy od długości promienia okręgu o1 (zależy tylko od długości cięciwy AB ).

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy promienie okręgów o2 i o1 przez r i R odpowiednio, oraz długość cięciwy przez 2a .

PIC

Pole pierścienia kołowego jest równe różnicy pól dużego i małego koła, czyli

πR 2 − πr 2 = π (R2 − r2).

Aby zobaczyć, że wartość ta zależy tylko od cięciwy AB , popatrzmy na trójkąt prostokątny BOC .

OC 2 + CB 2 = OB 2 r2 + a2 = R 2 ⇒ R2 − r2 = a2.

Zatem pole pierścienia jest równe

π(R 2 − r2) = πa 2,

co pokazuje, że zależy ono tylko od długości cięciwy.

Wersja PDF
Rozwiązanie Losuj ponownie