Zadanie nr 7991337
Uzasadnij, że wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.
Rozwiązanie
Na mocy twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu pierwiastek wymierny danego wielomianu musiałby mieć postać dla
(pierwiastek nie może być dodatni, bo dla liczb dodatnich wartości wielomianu są dodatnie i łatwo sprawdzić, że nie może być równy
, więc możemy założyć, że
). Sprawdźmy, czy liczba tej postaci może być pierwiastkiem wielomianu
.
![5k 4k 3k 2k k 120 k − 3 + 4 ⋅3 − 3⋅3 + 2 ⋅3 − 3 + 3 = 0 /3 − 3 4k + 4 ⋅33k − 3⋅3 2k + 2 ⋅3k + 3120−k = 1.](https://img.zadania.info/zad/7991337/HzadR5x.gif)
Jeżeli , to lewa strona dzieli się przez 3, a prawa nie, więc musi być
i mamy
![4k 3k 2k k k − 3 + 4 ⋅3 − 3⋅ 3 + 2 ⋅3 = 0 / : 3 − 33k + 4 ⋅32k − 3⋅ 3k = − 2.](https://img.zadania.info/zad/7991337/HzadR8x.gif)
Lewa strona znowu dzieli się przez 3, a prawa nie, więc liczba postaci nie może być pierwiastkiem danego wielomianu.