Zadanie nr 5404267
Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest funkcją długości jego krawędzi podstawy. Napisz wzór tej funkcji i wyznacz jej przedziały monotoniczności.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez , a jego wysokość przez
to mamy równanie
![a2H = 27 ⇒ H = 27. a2](https://img.zadania.info/zad/5404267/HzadR2x.gif)
Liczymy teraz pole powierzchni całkowitej
![Pc = 2a2 + 4aH = 2a 2 + 4⋅27-. a](https://img.zadania.info/zad/5404267/HzadR4x.gif)
Oznaczmy to wyrażenie przez . Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji
, liczymy jej pochodną
![3 2 f ′(a) = 4a− 4⋅-27-= 4 ⋅ a-−-27-= 4⋅ (a−--3)(a-+--3a+--9). a2 a2 a2](https://img.zadania.info/zad/5404267/HzadR7x.gif)
Ponieważ mamy
dla
i
dla
. Zatem funkcja
jest na tych przedziałach odpowiednio rosnąca i malejąca.
Odpowiedź: , rosnąca dla
, malejąca dla