/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największa długość

Zadanie nr 7521955

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek).


PIC


Funkcje f oraz g są określone wzorami f (x) = x2 oraz  ( )2 g(x) = − 1 x− 1 + 4 2 2 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (−1 ,1) . Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu K , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu R leżącego na wykresie funkcji g od punktu P wyraża się wzorem

 ∘ -------------------------------- 1 1 13 39 593 |PR | = -x 4 − -x3 − ---x2 + ---x+ ----, 4 2 8 8 6 4

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech Q = (xw,yw ) będzie tym punktem wspólnym danych wykresów, który leży po drugiej stronie akwenu niż punkt P (czyli tym, który leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych).


PIC


Zauważmy najpierw, że jeżeli S = (xS ,yS) jest jakimkolwiek punktem wykresu funkcji f leżącym na brzegu akwenu, to

(xS + 1)2 ≤ (xQ + 1)2 i (yS − 1)2 ≤ (yQ − 1)2

(niezależnie od tego, po której stronie punktu P jest punkt S ). Zatem

 ∘ ---------------------- ∘ ---------------------- 2 2 2 2 |SP | = (xS + 1 ) + (yS − 1 ) ≤ (xQ + 1 ) + (yQ − 1) = |QP |,

co oznacza, że interesującego nas punktu K musimy szukać na tej części linii brzegowej, która pochodzi od funkcji g .

Jeżeli R = (x ,g(x)) jest dowolnym punktem tego wykresu, to z treści zadania wiemy, że

 ∘ -------------------------------- 1- 4 1-3 13- 2 39- 593- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x+ 6 4 ,

więc wystarczy znaleźć największą możliwą wartość funkcji

 1- 4 1- 3 13- 2 39- 593- h(x) = 4x − 2 x − 8 x + 8 x + 64 .

Zanim jednak to zrobimy, zastanówmy się jaka jest dziedzina funkcji h . Aby to zrobić sprawdźmy w jakich punktach przecinają się wykresy funkcji f i g . Rozwiązujemy równanie

 ( )2 x2 = − 1- x − 1- + 4 = − 1x2 + 1-x+ 31- / ⋅2 2 2 2 2 8 31 3x 2 − x − ---= 0 4 Δ = 1 + 93 = 9 4 1− √ 94- 1 + √ 94- x = --------- lub x = --------. 6 6

Dziedziną funkcji h jest więc przedział

[ √ --- √ --] 1-−---94, 1+----94- 6 6

Liczymy teraz pochodną funkcji h .

 ( ) ( ) ′ 3 3 2 13 39 2 3 13 3 h (x) = x − 2-x − -4 x + 8--= x x − 2- − -4- x − 2- = ( ) ( ) ( ) ( √ --) ( √ --) 3 2 13 3 13 13 = x − -- x − --- = x− -- x − ----- x + ----- . 2 4 2 2 2

Ponieważ √-- √-- -13-> 1+--94 2 6 i  √ -- √ -- − --13< 1−--94 2 6 , w dziedzinie funkcji h

( √ ---) ( √ ---) x − --13- x + --13- < 0 2 2

(pierwszy nawias jest ujemny, a drugi dodatni). Widzimy więc, że pochodna y = h′(x ) jest dodatnia w przedziale [ √-- ) 1−-694, 32 i ujemna ( √ --] 32, 1+6-94 . To oznacza, że funkcji y = h(x ) jest rosnąca w przedziale [1−√ 94 3] --6---,2 i malejąca w przedziale [ 3 1+√-94] 2, 6 . Największą długość toru otrzymamy więc dla x = 3 2 . Mamy wtedy

 ( ) 3- 1- 81- 1- 27- 1-3 9- 39- 3- 593- h 2 = 4 ⋅16 − 2 ⋅ 8 − 8 ⋅ 4 + 8 ⋅ 2 + 64 = = 81-−-108-−-23-4+--468+--593-= 800-= 100-= 25. 6 4 6 4 8 2

Największa możliwa długość toru jest więc równa

∘ ----- ∘ --- √ -- h(x ) = 25-= √5--= 5--2-. 2 2 2

Długość tę otrzymamy dla punktu K o współrzędnych

 ( ) ( ) 3- 1- 3-7- K = (x ,g(x)) = 2 ,− 2 ⋅1+ 4 = 2,2 .

 
Odpowiedź:  (3 7) K = 2, 2 ,  5√-2 lmax = 2

Wersja PDF
spinner