Zadanie nr 7521955
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek).
Funkcje oraz są określone wzorami oraz . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt . Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca toru od początku ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .
Rozwiązanie
Niech będzie tym punktem wspólnym danych wykresów, który leży po drugiej stronie akwenu niż punkt (czyli tym, który leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych).
Zauważmy najpierw, że jeżeli jest jakimkolwiek punktem wykresu funkcji leżącym na brzegu akwenu, to
(niezależnie od tego, po której stronie punktu jest punkt ). Zatem
co oznacza, że interesującego nas punktu musimy szukać na tej części linii brzegowej, która pochodzi od funkcji .
Jeżeli jest dowolnym punktem tego wykresu, to z treści zadania wiemy, że
więc wystarczy znaleźć największą możliwą wartość funkcji
Zanim jednak to zrobimy, zastanówmy się jaka jest dziedzina funkcji . Aby to zrobić sprawdźmy w jakich punktach przecinają się wykresy funkcji i . Rozwiązujemy równanie
Dziedziną funkcji jest więc przedział
Liczymy teraz pochodną funkcji .
Ponieważ i , w dziedzinie funkcji
(pierwszy nawias jest ujemny, a drugi dodatni). Widzimy więc, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna . To oznacza, że funkcji jest rosnąca w przedziale i malejąca w przedziale . Największą długość toru otrzymamy więc dla . Mamy wtedy
Największa możliwa długość toru jest więc równa
Długość tę otrzymamy dla punktu o współrzędnych
Odpowiedź: ,