Zadanie nr 1217442
Na płaszczyźnie dane są punkty . Na prostej o równaniu
znajdź punkt
, dla którego suma
jest najmniejsza.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Skoro punkt leży na prostej o równaniu
to ma współrzędne postaci
. Mamy zatem
![AP 2 = (x − 3)2 + (8x + 1 0+ 2 )2 = (x− 3)2 + (8x+ 12)2 = 65x 2 + 1 86x + 153 2 2 2 2 2 2 BP = (x − 11) + (8x + 10 − 4) = (x− 11) + (8x+ 6) = 65x + 74x + 157.](https://img.zadania.info/zad/1217442/HzadR4x.gif)
Stąd
![( ) 2 2 2 2 31- AP + BP = 130x + 260x + 310 = 130 x + 2x + 13 .](https://img.zadania.info/zad/1217442/HzadR5x.gif)
Wykresem otrzymanej funkcji kwadratowej jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla
![−b − 2 x = xw = ----= ----= − 1. 2a 2](https://img.zadania.info/zad/1217442/HzadR6x.gif)
Wtedy .
Odpowiedź: