Zadanie nr 6487887
Rozważamy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku łączącym punkty wspólne osi i paraboli o równaniu
, a dwa należą do tej paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego prostokąta, który ma największy obwód.
Rozwiązanie
Zacznijmy od szkicowego rysunku.
Jeżeli oznaczymy współrzędne punktu , to punkt
musi być symetryczny względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli. Ponieważ

Więc jeżeli , to
, czyli
. Łatwo wtedy wyliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków

Obwód prostokąta wyraża się wzorem

Musimy znaleźć największą wartość funkcji na przedziale
. Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, czyli dla
. Wtedy

Odpowiedź: