Zadanie nr 8789622
Turnieju tenisowego rozgrywanego systemem każdy z każdym nie ukończyło dwóch graczy. Jeden z nich rozegrał tylko jeden mecz, a drugi dziesięć meczy. Ilu zawodników przystąpiło do turnieju, jeżeli wiadomo, że rozegrano 55 meczy? Czy zawodnicy, którzy nie ukończyli turnieju rozegrali ze sobą mecz?
Rozwiązanie
Oznaczmy szukaną liczbę zawodników przez . Z treści wiemy, że
z nich rozegrało mecze każdy z każdym. Ile było tych meczy? Dokładnie
![( ) n − 2 (n-−--2)(n−--3) 2 = 2 .](https://img.zadania.info/zad/8789622/HzadR2x.gif)
To jednak nie wszystko, bo są jeszcze mecze rozegrane przez dwóch, osobno opisanych zawodników. Ile ich trzeba dołożyć? Na pewno co najmniej 10 meczy rozegranych przez drugiego z tych zawodników. Teraz wszystko zależy od tego czy ci dwaj specjalni zawodnicy rozegrali ze sobą mecz. Jeżeli rozegrali, to ten 1 mecz pierwszego zawodnika już policzyliśmy, a jeżeli nie rozegrali to trzeba go dodać. Żeby dwa razy nie przepisywać tego samego, oznaczmy przez liczbę 0 lub 1, w zależności od tego czy Ci dwaj zawodnicy rozegrali mecz. Mamy więc równanie
![(n-−-2)(n-−-3)-+ 10 + x = 55 2 (n − 2)(n − 3) ------2--------= 45− x (n− 2)(n − 3) = 90 − 2x n−5n − 84+ 2x = 0 Δ = 25 + 4 (84+ 2x) = 361 + 8x .](https://img.zadania.info/zad/8789622/HzadR4x.gif)
Teraz sprawdzamy, dla mamy
, a dla
mamy
i nie jest to kwadrat liczby całkowitej, co oznacza, że w tym przypadku równanie nie ma rozwiązań całkowitych. Zatem
i mamy
![5 + 19 n = -------= 12. 2](https://img.zadania.info/zad/8789622/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: Dwunastu. Tak, rozegrali.