Zadanie nr 5585302

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = (− 6,− 3) i C = (− 2,− 5) są przeciwległymi wierzchołkami deltoidu ABCD , w którym |AB | = |BC | . Wyznacz równanie prostej .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku

Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie symetralnej odcinka , czyli prostej prostopadłej do i przechodzącej przez środek odcinka (bo przekątne deltoidu są prostopadłe i przekątna dzieli przekątną na dwie równe części). Punkt ma współrzędne

( ) − 6 − 2 −3 − 5 S = -------, ------- = (− 4,− 4). 2 2

Równanie prostej napiszemy na kilka sposobów.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów X = (x,y) , których odległość od końców odcinka jest taka sama. Punkty te spełniają więc równanie.

AX = CX AX 2 = CX 2 2 2 2 2 (x+ 6) + (y+ 3) = (x + 2) + (y+ 5) x2 + 12x + 36 + y2 + 6y + 9 = x2 + 4x+ 4+ y2 + 10y + 25 8x + 16 = 4y / : 4 y = 2x + 4.

Sposób II

Zacznijmy od napisania równania prostej . Szukamy prostej postaci y = ax+ b . Podstawiając współrzędne punktów i otrzymujemy układ równań.

{ −3 = − 6a+ b −5 = − 2a+ b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) mamy

− 2 = 4a ⇒ a = − 1. 2

I dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatem prosta , jako prostopadła do musi mieć współczynnik kierunkowy 2, czyli jest postaci y = 2x+ b dla pewnego . Współczynnik wyliczamy podstawiając współrzędne punktu S = (− 4,− 4) .