/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Warunkowe i całkowite/Zbiory liczb

Zadanie nr 6558775

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 18, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 24.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że wylosowana liczba dzieli się przez 2 (bo dzieli się przez 24), więc podzielność przez 18 sprowadza się do podzielności przez 9.

Sposób I

Ustalmy najpierw ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez 24. Są to liczby

100 8 = 42 ⋅24, 10 32 = 43 ⋅24,...,998 4 = 416 ⋅24.

Jest więc 41 6− 4 1 = 375 takich liczb.

Ile spośród tych liczb dzieli się przez 9? – są to liczby podzielne przez 72, czyli liczby

100 8 = 14 ⋅72, 10 80 = 15 ⋅72,...,993 6 = 138 ⋅72.

Jest ich więc 138 − 13 = 1 25 i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe

125-= 1. 375 3

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez A i B zdarzenia polegające na wylosowaniu liczby czterocyfrowej podzielnej odpowiednio przez 18 i 24, to musimy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe

P (A |B ) = P-(A-∩-B-). P(B )

Liczby czterocyfrowe podzielne przez 24 tworzą skończony ciąg arytmetyczny (an) o różnicy r = 24 i taki, że

{ a1 = 1 008 = 42 ⋅24 an = 9984 = 41 6⋅24 .

Mamy stąd

9984 = an = a1 + (n − 1)r = 10 08+ 24(n − 1) / : 24 n − 1 = 37 4 ⇒ n = 3 75.

Zatem

 3-75- -3- P (B) = 9000 = 72

(bo wszystkich liczb czterocyfrowych jest 999 9− 9 99 = 900 0 ).

Zajmijmy się teraz zdarzeniem A ∩ B , czyli liczbami, które są jednocześnie podzielne przez 18 i 24. Takie liczby to dokładnie liczby podzielne przez 72. Tworzą one skończony ciąg arytmetyczny (an) o różnicy r = 72 i taki, że

{ a = 1 008 = 14 ⋅72 1 an = 9936 = 13 8⋅72 .

Mamy stąd

9936 = an = a1 + (n − 1)r = 10 08+ 72(n − 1) / : 72 n − 1 = 12 4 ⇒ n = 1 25.

Zatem

 125 1 P (A ∩ B ) = -----= --- 9000 72

i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe

 P (A ∩ B) -1 1 P (A|B ) = ----------= 723-= -. P (B) 72 3

 
Odpowiedź: 1 3

Wersja PDF
spinner