Cięciwy AD i BC okręgu o środku O przecinają się w punkcie P... Zadania.info: losowe zadanie, Punkty poza okręgiem, 4493035

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 18379 zadań, 1147 zestawów, 35 poradników

cornersUpL

cornersUpR

random

Linki sponsorowane

cornersR

/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty wpisane/Punkty poza okręgiem

Zadanie nr 4493035

Cięciwy $AD$ i $BC$ okręgu o środku $O$ przecinają się w punkcie $P$ tak, że $|∡AP C | = 50∘$ (zobacz rysunek).

Jeżeli punkt $E$ jest punktem wspólnym prostych $AC$ i $BD$ , to miara kąta $AEB$ jest równa
A) $40∘$ B) $5 0∘$ C) $60∘$ D) $∘ 70$

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że każdy z kątów: $ADB$ i $ACB$ jest oparty na średnicy $AB$ . Zatem

∘ ∡ADB = ∡ACB = 90 .

Ponadto

∘ ∘ ∘ ∘ ∡CP D = 180 − ∡AP C = 180 − 50 = 130 .

Korzystamy teraz z tego, że suma kątów w czworokącie $PCED$ jest równa $36 0∘$ .

∘ α = ∡AEB = 360 − ∡CP D − ∡P CE − ∡P DE = = 360∘ − 130 ∘ − 90 ∘ − 9 0∘ = 50∘.

Sposób II

Tak jak poprzednio zauważamy, że

∡ADB = ∡ACB = 90∘.

Stąd

∘ α = ∡AEB = 90 − ∡DAC = = 90 ∘ − (9 0∘ − ∡AP C) = ∡AP C = 50∘.

Sposób III

Tak jak poprzednio zauważamy, że

∡ADB = ∡ACB = 90∘.

Trójkąty $AED$ i $AP C$ są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku $A$ . Są więc podobne. Zatem

∡AED = ∡AP C = 50∘.

Odpowiedź: B

Wersja PDF

Legalni bukmacherzy