Zadanie nr 7225246
Każdy z wierzchołków trójkąta prostokątnego leży na na wykresie funkcji . Bok tego trójkąta jest zawarty w prostej , a wierzchołek kąta prostego ma obie współrzędne dodatnie. Oblicz pole trójkąta .
Rozwiązanie
Wykres danej funkcji kwadratowej
to parabola o ramionach skierowanych w górę i miejscach zerowych i . Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.
Wiemy, że punkty i leżą zarówno na tej paraboli jak i na prostej , więc ich współrzędne spełniają układ równań
Podstawiamy z drugiego równania do pierwszego i mamy
Stąd odpowiednio i . Ponieważ z założenia punkt ma obie współrzędne dodatnie, mamy stąd i .
Musimy jeszcze wyznaczyć współrzędne punktu – jest to punkt wspólny prostej i danej paraboli. Prosta jest prostopadła do (bo punkt jest wierzchołkiem kąta prostego), więc ma równanie postaci . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .
Zatem prosta ma równanie . Szukamy teraz jej punktów wspólnych z daną parabolą – podstawiamy w równaniu paraboli.
Drugie rozwiązanie dałoby nam punkt , więc i
Mamy zatem i
Pole trójkąta jest więc równe
Odpowiedź: