/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Wzór Bayesa

Zadanie nr 9126753

Dwie maszyny wykonują detale: pierwsza maszyna 75%, a druga 25%. Wśród detali maszyny pierwszej 95%, a maszyny drugiej 80% odpowiada wymogom technicznym. Wylosowano jeden detal, który odpowiada wymogom technicznym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że detal ten pochodzi z maszyny drugiej?

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez zdarzenie polegające na otrzymaniu detalu spełniającego wymogi techniczne, a przez B 1 i B 2 zdarzenia polegające na otrzymaniu detalu z maszyny odpowiednio pierwszej i drugiej, to wiemy, że

3 P(B1) = -- 4 P(B2) = 1- 4 9-5- 19- P(A |B1) = 100 = 20 8 0 16 P(A |B2) = ----= --. 100 20

Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy więc

19 3 16 1 73 P(A ) = P (A |B 1)P(B 1)+ P (A |B 2)P(B 2) = ---⋅--+ ---⋅--= --. 20 4 20 4 80

Ten sam rachunek mogliśmy wykonać używając drzewka.

ZINFO-FIGURE

Nas natomiast interesuje prawdopodobieństwo warunkowe

P-(A-∩-B-2) P-(A-∩-B2)- P-(B2) P(B2|A ) = P(A ) = P (B2) ⋅ P(A ) = 1 = P (A|B )⋅ P-(B2) = 16-⋅-4-= 16-⋅ 2-0 = 16-. 2 P(A ) 20 73 20 7 3 73 80

Wzór, który wyporawdziliśmy w powyższym rachunku

P(A |B2) ⋅P(B 2) P (B2|A) = ---------------- P (A)

nosi nazwę wzoru Bayesa.
Odpowiedź: 1763

Rozwiązanie Losuj ponownie