/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Przebieg zmienności/Zbiór wartości

Zadanie nr 9737289

Funkcja jest określona wzorem

√ --- log3x 2⋅log-2--27-⋅log32- 2 f(x ) = 81 + 3 ⋅x − 6x

dla każdej liczby dodatniej .

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej wzór funkcji można równoważnie przekształcić do postaci .
Oblicz najmniejszą wartość funkcji określonej dla każdej liczby dodatniej .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że

$( ) ( ) log3x 4 log3x log3x 4 4 8 1 = 3 = 3 = x 2 √ --- (√ ---)2 log 2 --⋅log2 27⋅ log 32 = log 2 2 7 3 ⋅log32 = lo g23 ⋅---2-- = 1. 3 log2 3$

Zatem faktycznie

$f(x) = x 4 + x 2 − 6x .$
Liczymy pochodną funkcji

$f ′(x ) = 4x3 + 2x − 6 = 2 (2x3 + x− 3).$

Widać gołym okiem, że jednym z pierwiastków wyrażenia w nawiasie jest . Dzielimy więc ten wielomian przez .

$3 ( 3 2) ( 2 ) 2x + x − 3 = 2x − 2x + 2x − 2x + (3x − 3 ) = 2 2 = 2x (x − 1) + 2x (x− 1)+ 3(x− 1) = (x − 1)(2x + 2x + 3)$

Mamy zatem

$f ′(x ) = 2(x − 1)(2x2 + 2x + 3 )$

i trójmian w nawiasie nie ma już pierwiastków, bo . Widzimy więc, że pochodna jest dodatnia dla i ujemna dla . W takim razie funkcja rośnie w przedziale i maleje w przedziale . W takim razie najmniejsza wartość funkcji to

$f (1) = 1+ 1− 6 = − 4.$

Na koniec wykres dla ciekawskich.

Odpowiedź:

Rozwiązanie Losuj ponownie