/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 4286658

Dany jest rosnący ciąg geometryczny (an) dla n ≥ 1 , w którym a1 = x , a2 = 1 4 , a3 = y . Oblicz oraz , jeżeli wiadomo, że x+ y = 35 .

Rozwiązanie

Jedną z podstawowych własności ciągu geometrycznego jest fakt

2 ai ⋅ai+ 2 = ai+1,

czyli kwadrat dowolnego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich (wynika to łatwo z deﬁnicji ciągu geometrycznego). W naszej sytuacji oznacza to, że xy = 142 . Dostajemy zatem układ równań

{ x + y = 35 xy = 196

Wyliczając z pierwszego równania i wstawiając do drugiego, otrzymujemy

x 2 − 3 5x+ 196 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania x1 = 7 i x2 = 28 , co daje odpowiednio y1 = 28 i y2 = 7 . Tylko para (x1,y1) = (7,28 ) daje rosnący ciąg geometryczny.
Odpowiedź: (x,y ) = (7,28)

Wersja PDF