Zadanie nr 5305731

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A = (3 ,8) , B = (1,2) , C = (6,7) jest prostokątny.

Rozwiązanie

Jeżeli narysujemy podane punkty, to jest jasne, że kąt prosty powinien być przy wierzchołku .

Sposób I

Aby sprawdzić czy tak jest w istocie, musimy sprawdzić czy → → AC ∘AB = 0 . Liczymy

→ → AC ∘AB = [3,− 1]∘ [− 2,− 6] = − 6 + 6 = 0 .

A więc istotnie trójkąt ABC jest prostokątny.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać z iloczynu skalarnego, korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 AB = (1− 3) + (2− 8) = 4+ 36 = 40 AC 2 = (6− 3)2 + (7− 8)2 = 9+ 1 = 10 2 2 2 2 2 BC = (6− 1) + (7 − 2) = 25+ 25 = 50 = AB + AC .

Zatem istotnie ∡A = 90∘ .