Zadanie nr 7303723

Napisz równanie okręgu stycznego do osi w punkcie A = (0,2) i przechodzącego przez punkt P = (4,6) . Wyznacz na okręgu takie punkty i , aby trójkąt ABC był równoboczny.

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

Informacja o tym, że szukany okrąg jest styczny do osi w punkcie (0,2) oznacza, że jego środek leży na prostej y = 2 . Aby ten środek wyznaczyć musimy na tej prostej znaleźć punkt O = (x ,2) , który jest równoodległy od punktów i . Mamy więc równanie

(x − 0 )2 + 02 = (x− 4)2 + (2 − 6 )2 x 2 = x2 − 8x + 16 + 16 8x = 32 x = 4.

A więc środkiem szukanego okręgu jest punkt O = (4,2 ) , a jego promień jest równy 4. Możemy napisać równanie okręgu.

(x− 4)2 + (y − 2 )2 = 42.

Ponieważ wiemy, że prosta y = 2 zawiera wysokość szukanego trójkąta równobocznego, oraz AO : OH = 2 : 1 , więc spodek wysokości H = (6,2) . Zatem prosta x = 6 zawiera bok . Pozostało znaleźć jej punkty wspólne z naszym okręgiem.