W trójkacie dwusieczna kąta przecina bok w punkcie . Długosci boków i są równe odpowiednio i , a długość odcinka jest równa . Wykaż, że .
/Konkursy/Zadania
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze i liczby naturalne spełniające równość
W trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.
Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4 cm.
Wykaż, że jeżeli wielomian jest podzielny przez trójmian , to jest również podzielny przez trójmian .
Wielomian jest podzielny przez wielomian . Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian .
Na boku trójkąta wybrano punkt tak, by . Odcinek jest dwusieczną kąta . Udowodnij, że .
W trójkącie . Wykaż, że w tym trójkącie .
Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: i , przy czym punkty i należą do odcinków i odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu i przechodzi przez punkt . Wykaż, że jeżeli , to promień okręgu jest równy .
Czy liczba nieparzysta i połowa następującej po niej liczby parzystej mogą mieć wspólny dzielnik większy niż 1?
Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach i () oraz środkach i . Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach i odpowiednio (). Oblicz pole trójkąta , gdzie jest punktem przecięcia się prostych i .
Znajdź wzór na sumę .
Uzasadnij, że jeśli to lub .
Wielomian , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci . Oblicz sumę .
Dana jest liczba całkowita . Niech będą odpowiednio resztami z dzielenia liczb
przez . Znaleźć wszystkie takie wartości , że ciąg jest permutacją ciągu .
Dane są różne liczby pierwsze oraz takie dodatnie liczby całkowite , że liczba daję resztę 1 przy dzieleniu przez , a liczba daje resztę 1 przy dzieleniu przez . Wykaż, że
Podstawy trapezu mają długości i . Na ramionach trapezu wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstaw i przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych. Oblicz długość odcinka .
Boki trójkąta są styczne do okręgu w punktach , a kąty trójkąta są odpowiednio równe . Oblicz miary kątów trójkąta .
Kuba pożyczył od taty samochód, którym wyruszył z domu na spotkanie ze swoją dziewczyną. Przed wyjazdem obliczył, że jadąc ze średnią prędkością 60 km/h przybędzie na spotkanie dokładnie o umówionej godzinie. Po przejechaniu (z zaplanowaną prędkością) 60% drogi "złapał gumę", a zmiana koła zajęła mu 16 minut. Teraz, aby zdążyć na spotkanie, musiałby jechać z prędkością 120 km/h. Oblicz odległość od domu Kuby do miejsca spotkania z ukochaną.
Przedłużenia przeciwległych boków czworokąta wpisanego w okrąg tworzą kąty ostre o miarach i . Oblicz miary kątów czworokąta.
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze takie, że liczby i też są liczbami pierwszymi.
Prosta jest styczna do okręgu w punkcie . Oblicz miarę zaznaczonego kąta jeśli .