Zadania/Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 342, strona 15

/Konkursy/Zadania

Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta jest styczna do obu okręgów w punktach i . Oblicz długość odcinka . Rozważ dwa przypadki.

Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.

Wykaż, że punkty A ,E i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej liczba 5 n − n jest podzielna przez 5.

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba 7 n − n jest podzielna przez 7.

Wykaż, że

∘ -----√--- ∘ -----√----- ∘ ------√--- 4 − 2 3 + 8 − 2 15+ 14 − 6 5 = 2.

Dla jakich liczb naturalnych , liczba 2 n + 14n + 26 jest kwadratem liczby naturalnej?

Ukryj Podobne zadania

Dla jakich liczb naturalnych , liczba 2 n + 12n + 17 jest kwadratem liczby naturalnej?

Na bokach BC ,AC i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Ramiona kąta ostrego o mierze przecięto prostą prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej . Oblicz odległość środków tych okręgów.

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4. Jakie pole ma koło opisane na tym kwadracie?

Wykaż, że równanie 2 2 6x + 14 = 21y nie ma rozwiązań całkowitych.

Czworokąty ABCD i AP QR są kwadratami. Udowodnij, że |BP | = |DR | .

Uzasadnij, że suma skierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta (niekoniecznie wypukłego) jest równa .
Uzasadnij, że suma nieskierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego jest równa .
Wyprowadź wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego –kąta.

Pole trapezu jest równe , a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej i każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

x(x − 1 )+ y (y− 1) ≥ xy − 1.

Ukryj Podobne zadania

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej i każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

x(x − 3 )+ y (y− 3) ≥ xy − 9.

Wykaż, że jeżeli x,y,z są długościami boków trójkąta to √ 3(x+y +z) ∘ ------------ ----2-----> x 2 + y 2 + z2 .

Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 31 2 ?

Uzasadnić, że prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie n(n+-1) + 1 2 obszarów.

Punkt leży na ramieniu trapezu ABCD , w którym AB ∥ CD . Udowodnij, że ∡AED = ∡BAE + ∡CDE .

W trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi , zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe i . Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę .

Wyraź w zależności od wielkości i .
Wyraź w zależności od wielkości i .
Wykaż, że jeśli , to .

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym długości boków tworzą ciąg geometryczny, a miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny.

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i poprowadzono wspólną styczną , przy czym punkt należy do pierwszego, a punkt do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta dzieli odcinek na połowy.

Strona 15 z 16