Zadania/Konkursy - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania

Świeże grzyby zawierają 90% wody. W wyniku suszenia masa grzybów zmniejsza się dziewięciokrotnie. Ile procent wody zawierają suszone grzyby?

Dla jakich liczb całkowitych dodatnich liczby 5 p + p+ 1 i 11 p + p+ 1 są pierwsze.

Udowodnij, że jeżeli a ≥ b > 0 to (a+b-) √ --- (a−b-)2- 2 − ab ≥ 8a .

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb x,y ,z spełniona jest nierówność

( 1 1 1 ) (x + y + z) -+ --+ -- ≥ 9 x y z

Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to

√ ----- (a + b)(c + d) ≥ 4 abcd.

Uzasadnij, że dla dowolnych liczb naturalnych b > a zachodzi równość N W D (a,b) = N W D (a,b− a) .

Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono prostą równoległą do boku , która przecina boki i odpowiednio w punktach i .
Wykaż, że |ED | = |EA |+ |DB | .

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach i , w którym boki i są prostopadłe. Dwusieczne kątów i przecinają się w punkcie leżącym na boku . Wykaż, że |BS | = |SC | .

W trójkącie równoramiennym ABC ( AC = BC ) poprowadzono wysokości i . Wiedząc że AB 2 = CK ⋅AM wyznacz cosinus kąta przy podstawie trójkąta.

Świeżo skoszona trawa zawiera 60% wody, a wysuszone siano tylko 15% wody. Oblicz, ile kilogramów wysuszonego siana można otrzymać z 1 tony skoszonej trawy? Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych kilogramów.

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej , liczba n n 10 + 4 − 2 jest liczbą podzielną przez 3.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że MQ ∥ PN .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że czworokąt MQNP jest równoległobokiem.

W prostokącie ABCD , w którym stosunek długości boków i jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów ADB i BDC . Dwusieczne te przecinają boki i odpowiednio w punktach i . Oblicz stosunek pola prostokąta ABCD do pola trójkąta DKM .

Wielokąt wypukły ma wierzchołków, n ≥ 3 , n ∈ N , spośród których losujemy jednocześnie dwa. Wyznacz , wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków wyznaczających przekątną tego wielokąta jest mniejsze od 4 5 .

Średni wiek w pewnej sześcioosobowej grupie tematycznej na konferencji naukowej wynosił 49 lat. Najmłodszy uczestnik zrezygnował i wówczas średnia wieku wzrosła do 53 lat. Ile lat miał najmłodszy uczestnik?

Długość ramienia trapezu jest równa , a odległość od niego środka przeciwległego ramienia jest równa . Wyznacz pole trapezu.

Punkty P ,Q ,R ,S są środkami odpowiednio krawędzi AD ,CD ,BC ,AB czworościanu ABCD . Wykaż, że punkty P ,Q,R i są wierzchołkami równoległoboku.

Punkt jest środkiem boku prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt leży na boku tego prostokąta oraz ∡AEF = 90 . Udowodnij, że ∡BAE = ∡EAF .

W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do prostej tak, że należy do , należy do oraz |MN | = |AM |+ |BN | . Oblicz |MN | , jeśli |AB | = c , a miary kątów trójkąta przy boku wynoszą oraz .

Strona 1 z 17