Zadania/Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 342, strona 2

/Konkursy/Zadania

Udowodnij, że jeżeli a > 0 to dla wszystkich x ∈ R spełniona jest nierówność ax + a−x ≥ 2 .

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

Malarz chcąc rozjaśnić 20 litrów granatowej farby postąpił w następujący sposób: odlał jeden litr farby i dolał 1 litr farby białej, a potem całość dokładnie wymieszał. Procedurę tę powtórzył w sumie 8 razy. Ile litrów granatowej farby pozostało w otrzymanej mieszaninie? Wynik podaj z dokładnością do 1 litra.

Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to

∘ -------------- √ --- √ --- (a+ c)(b+ d ) ≥ ab+ cd.

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że dla a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność √ ------√ ----- √ --- √ --- a+ b⋅ c + d ≥ ac+ bd .

Rozłożono 100 cukierków na 5 talerzach.
Na 1 i 2 talerzu znalazły się łącznie 52 cukierki,
na 2 i 3 talerzu 43 cukierki,
na 3 i 4 talerzu 34 cukierki,
na 4 i 5 talerzu 30 cukierków.
Ile cukierków znajdowało się na każdym talerzu?

Punkt leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2 .

Niech i będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD , zaś i długościami jego przekątnych. Wykaż, że a2 + b2 ≥ pr .

Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach i przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach i w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a = 12 cm i wysokości h = 18 cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta, przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta.

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

(x+ y)(x2 − xy + y2 + 3) ≥ 2(x 2 + xy + y2 + 1).

Ukryj Podobne zadania

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

x (x2 − 2x + 3)+ y(y2 − 2y + 3) ≥ 2xy + 2.

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba √ -- √ -- 3+ 2− 1 .

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają równość a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca to a = b = c .

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych , i , funkcja

f(x ) = (x− a)(x − b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a)

ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Środkowa trójkąta ABC jest równa bokowi . Wyznacz kąty trójkąta ABC wiedząc, że |AB | = 4 i √ -- |BC | = 2 3 .

Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek . Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ASD jest trzy razy większa od miary kąta ACS , to |BC | = r .

Wykaż, że wielomian 4 3 2 W (x) = x − 2x + 2x − 6x+ 9 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Udowodnij, że jeżeli środki boków dwóch czworokątów wypukłych pokrywają się, to pola tych czworokątów są równe.

Wykaż, że jeżeli liczba jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba również ma tę własność.

Uzasadnij, że równanie 3 x(x+ 1)(x + 2) = 20 06 nie ma pierwiastków całkowitych.

Dwóch korektorów, pracując razem, jest w stanie dokonać poprawek w tekście w czasie 8 godzin. Jeżeli każdy z nich wykonywałby tę pracę sam, to pierwszy, bardziej doświadczony korektor zakończyłby ją o 12 godzin wcześniej niż drugi. W ciągu ilu godzin każdy z korektorów wykonałby tę pracę samodzielnie?

Ukryj Podobne zadania

Pierwsza pompa napełnia zbiornik w czasie o 15 godzin krótszym niż druga pompa. Jeżeli obie pompy pracują jednocześnie, to zbiornik zostaje napełniony w czasie 10 godzin. Ile godzin potrzeba na napełnienie zbiornika przy pomocy każdej z pomp?

Basen można napełnić dwoma kranami w ciągu 6 godzin. Pierwszy kran napełnia basen w czasie o 5 godzin krótszym niż drugi. W ciągu ilu godzin, każdy kran oddzielnie napełni basen.

Basen można napełnić dwoma kranami w ciągu 3 godzin. Pierwszy kran napełnia basen w czasie o 8 godzin krótszym niż drugi. W ciągu ilu godzin, każdy kran oddzielnie napełni basen.

Basen można napełnić, otwierając zawór nr 1, a opróżnić, odkręcając zawór nr 2. Jeśli otworzony jest tylko jeden zawór, całkowite napełnienie basenu trwa o godzinę krócej niż jego opróżnienie. Gdy równocześnie odkręcono obydwa zawory, basen napełnił się w ciągu 12 godzin. W ciągu ilu godzin napełni się basen, jeżeli zawór nr 2 będzie zamknięty?

Strona 2 z 16