Zadania/Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 342, strona 3

/Konkursy/Zadania

Wysokość rombu ABCD dzieli bok tego rombu tak, że 3 |AE | : |EB | = 2 (zobacz rysunek).

Oblicz wartość wyrażenia

( ) ( ) sin4 π-+ α- + sin4 π-+ β- , 8 4 8 4

gdzie i są dwoma sąsiednimi kątami wewnętrznymi rombu ABCD .

W czworokącie ABCD spełniony jest warunek |∡ADB | = |∡ACB | . Wykaż, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Prosta przechodząca przez punkty i przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie . Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny.

Czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym, w którym AB ∥ CD . Wykaż że

|AC |2 + |BD |2 = |AD |2 + |BC |2 + 2|AB |⋅|DC |.

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Ukryj Podobne zadania

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Rozwiąż układ równań { x+ xy + y = 13 2(x+ y)2 + x2y + xy2 + 30 = 0.

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x2y2 + 2x 2 + 2y 2 − 8xy + 4 > 0.

Ukryj Podobne zadania

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x4 − 8xy + 4y2 + 4 > 0.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x 2y2 + 3x2 + 3y2 − 12xy + 9 > 0.

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sinβ+-sinγ- sin α = cosβ+ cos γ to trójkąt ten jest prostokątny.

Na bokach AB , AD i rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty K ,L i w ten sposób, że odcinki i są równoległe do przekątnych rombu. Wykaż, że odcinek przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych rombu.

Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie , dla których równanie x 2 + x + 1 = k2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.

Wykaż, że liczba ∘ -----√--- √ -- a = 6 − 2 5 − 5 jest całkowita.

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że liczba ∘ -----√--- √ -- 3 − 2 2 − 2 jest liczbą całkowitą.

Wykaż, że liczba ∘ ------√---- √ --- m = 12 − 2 1 1− 1 1 jest wymierna.

W trapez ABCD , gdzie AB ∥ CD i |AB | > |CD | , wpisano okrąg (patrz rysunek).

Dwusieczna kąta ostrego przy wierzchołku jest prostopadła do ramienia |BC | .

Wykaż, że dwusieczna kąta przy wierzchołku jest równoległa do ramienia .
Oblicz .

Grupa szachistów postanowiła zorganizować turniej szachowy w systemie każdy z każdym. Rozgrywano 5 partii dziennie. Turniej trwał 9 dni. Ilu szachistów brało w nim udział ?

Znajdź liczbę doskonałą, która jest podzielna przez 4 i ma dokładnie 6 dzielników.

Gdyby Aleksander Wielki umarł o 5 lat wcześniej, to panowałby przez 1 4 swego życia. Gdyby żył o 9 lat dłużej, to panowałby przez połowę swego życia. Ile lat żył i ile lat panował.

Podstawy trapezu mają długości 10 i 6. Wiedząc, że suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie jest równa 90 ∘ , oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Na ramionach trapezu wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstaw i dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach. Oblicz długość odcinka .