Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy/Zadania

Wyszukiwanie zadań

W okrąg wpisany jest trójkąt ABC , przy czym ∡B = β i ∡C = γ < β . Oblicz miarę kąta między prostą BC i styczną do okręgu w punkcie A .

Trójkąt prostokątny ABC ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.

Wykaż, że jeśli a należy do zbioru liczb całkowitych, to  3 a − a jest podzielne przez 3.

Udowodnij, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów długości przeciwległych boków jest równa iloczynowi długości przekątnych (twierdzenie Ptolemeusza).

Wyznacz wszystkie pary (x,y) , gdzie x i y są liczbami całkowitymi spełniającymi równanie

1-+ 1-+ 1--= 1. x y xy 2

Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi 3:2.

Kąt ostry rombu ABCD ma miarę  ∘ |∡A | = 6 0 . Na bokach AB i BC wybrano punkty K i L w ten sposób, że |AK | = |BL | . Uzasadnij, że trójkąt KLD jest trójkątem równobocznym.

Liczby naturalne a i b spełniają równość 34a = 43b . Udowodnij, że liczba a + b jest złożona.

Wykaż, że proste przechodzące przez wierzchołek równoległoboku i środki boków, do których on nie należy, dzielą przekątną równoległoboku na trzy równe części.

Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Dwie pracownice urzędu pocztowego miały ostemplować pewną partię listów. Stemplowanie listów pierwsza urzędniczka rozpoczęła o godzinie 8:00, a druga o godzinie 9:00. O godzinie 11:00 panie stwierdziły, że pozostało im jeszcze do ostemplowania 45% listów. Po ukończeniu pracy okazało się, że każda z urzędniczek ostemplowała tyle samo listów. Oblicz, w ciągu ilu godzin każda z pań ostemplowałaby sama wszystkie listy.

Udowodnij że jeśli dwie dwusieczne w trójkącie są sobie równe to trójkąt jest równoramienny (twierdzenie Steinera-Lehmusa).

Wyznacz wszystkie liczby całkowite n , dla których liczba 3n−1- n+ 3 jest liczbą całkowitą.

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .


PIC


Wyznacz miary kątów trójkąta, w którym wysokość i środkowa poprowadzona z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na 3 równe części.

Obwód trójkąta ABC jest równy 8. Oblicz obwód trójkąta KLM o wierzchołkach będących środkami środkowych trójkąta ABC .

Strona 4 z 16
spinner