W okrąg wpisany jest trójkąt , przy czym i . Oblicz miarę kąta między prostą i styczną do okręgu w punkcie .
/Konkursy/Zadania
Trójkąt prostokątny ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.
Wykaż, że jeśli należy do zbioru liczb całkowitych, to jest podzielne przez 3.
Udowodnij, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów długości przeciwległych boków jest równa iloczynowi długości przekątnych (twierdzenie Ptolemeusza).
Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równość .
Wyznacz wszystkie pary , gdzie i są liczbami całkowitymi spełniającymi równanie
Czworokąt jest trapezem o podstawach i . Wykaż że
Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu wiedząc, że stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw wynosi 3:2.
Kąt ostry rombu ma miarę . Na bokach i wybrano punkty i w ten sposób, że . Uzasadnij, że trójkąt jest trójkątem równobocznym.
Liczby naturalne i spełniają równość . Udowodnij, że liczba jest złożona.
Wykaż, że proste przechodzące przez wierzchołek równoległoboku i środki boków, do których on nie należy, dzielą przekątną równoległoboku na trzy równe części.
Wykaż, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.
Dwie pracownice urzędu pocztowego miały ostemplować pewną partię listów. Stemplowanie listów pierwsza urzędniczka rozpoczęła o godzinie 8:00, a druga o godzinie 9:00. O godzinie 11:00 panie stwierdziły, że pozostało im jeszcze do ostemplowania 45% listów. Po ukończeniu pracy okazało się, że każda z urzędniczek ostemplowała tyle samo listów. Oblicz, w ciągu ilu godzin każda z pań ostemplowałaby sama wszystkie listy.
Udowodnij że jeśli dwie dwusieczne w trójkącie są sobie równe to trójkąt jest równoramienny (twierdzenie Steinera-Lehmusa).
Wyznacz wszystkie liczby całkowite , dla których liczba jest liczbą całkowitą.
Znajdź wszystkie funkcje , dla których zachodzi równość .
Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .
Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .
Wyznacz miary kątów trójkąta, w którym wysokość i środkowa poprowadzona z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na 3 równe części.
Wyznacz wszystkie liczby całkowite spełniające równanie .
Obwód trójkąta jest równy 8. Oblicz obwód trójkąta o wierzchołkach będących środkami środkowych trójkąta .