/Konkursy/Zadania

Zadanie nr 1341602

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że MQ ∥ PN .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Zauważmy, że odcinek MQ łączy środki boków w trójkącie ABD . Jest on więc równoległy do odcinka AD . Podobnie, odcinek PN łączy środki boków ACD , więc też jest równoległy do AD . Zatem

MQ ∥ AD ∥ P N ⇒ MQ ∥ PN .

(Odcinki te mają też równą długość.)

Sposób II

Umieśćmy czworokąt w układzie współrzędnych tak, aby A = (0,0) , B = (2b,0) , C = (2c ,2c ) 1 2 i D = (2d ,2d ) 1 2 . Wtedy

A-+-B-- M = 2 = (b,0 ) C + D N = ------- = (c1 + d1,c2 + d2) 2 P = A-+--C-= (c ,c ) 2 1 2 B + D Q = -------= (b+ d1,d2). 2

Teraz wystarczy sprawdzić, że proste MQ i PN mają takie same współczynniki kierunkowe. Współczynnik kierunkowy prostej MQ jest równy

--d2 −-0-- = d-2, b+ d1 − b d 1

a współczynnik kierunkowy prostej PN jest równy

c2 +-d2 −-c2= d2-. c1 + d1 − c1 d1

Skoro liczby te są równe, odcinki MQ i PN są równoległe.

Sposób III

Zauważmy, że

−→ −→ −→ 1− → 1 → 1 −→ MQ = MB + BQ = -AB + -BD = -AD 2 2 2

Podobnie,

−→ −→ −→ 1− → 1 → 1 −→ P N = PC + CN = -AC + -CD = -AD . 2 2 2

To oznacza, że odcinki MQ i P N są równoległe (i mają równe długości).

Wersja PDF