Zadanie nr 6661225

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których prosta o równaniu y = mx + (2m + 3) ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0,0) i promieniu r = 3 .

Rozwiązanie

Sposób I

Równanie okręgu opisanego w treści zadania to

2 2 x + y = 9.

Aby wyznaczyć jego punkty wspólne z daną prostą podstawiamy w powyższym równaniu y = mx + (2m + 3) .

2 2 x + (mx + (2m + 3)) = 9 2 2 2 2 x + m x + 2mx (2m + 3) + (2m + 3) = 9 (1 + m 2)x2 + 2m (2m + 3)x + (4m 2 + 12m ) = 0.

Otrzymane równanie to zwykłe równanie kwadratowe – jeżeli ma mieć dwa różne rozwiązania, to musi być Δ > 0 .

Δ = 4m 2(2m + 3)2 − 4(1+ m 2)m (4m + 12) = = 4m (m (4m 2 + 12m + 9)− (1 + m 2)(4m + 12)) = 3 2 3 2 = 4m (4m + 12m + 9m − 4m − 12 − 4m − 12m ) = = 4m (5m − 12).

Rozwiązaniem nierówności Δ > 0 jest więc zbiór: ( ) (−∞ ,0 )∪ 12,+ ∞ 5 .

Sposób II

Jeżeli prosta ma przecinać okrąg w dwóch punktach, to środek tego okręgu musi być odległy od tej prostej o mniej niż promień okręgu. Korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x ,y ) 0 0 od prostej Ax + By + C = 0 :