Zadanie nr 9079762

Rozwiąż równanie 4 2 2 x − 5x = 5 − x .

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli się przyjrzymy to widać, że po obu stronach równania można wyłączyć x 2 − 5 .

2 2 2 x (x − 5 ) = − (x − 5) x2(x 2 − 5 )+ (x 2 − 5) = 0 (x2 + 1)(x 2 − 5) = 0.

Wyrażenie w pierwszym nawiasie jest zawsze dodatnie, więc pozostaje równanie

x2 − 5 = 0 2 x = 5 √ -- √ -- x = − 5 ∨ x = 5.

Sposób II

Jeżeli zapiszemy dane równanie w postaci

4 2 x − 4x − 5 = 0

to widać, że mamy do czynienia z równaniem dwukwadratowym i możemy podstawić 2 t = x .

2 t − 4t− 5 = 0 Δ = 16 + 20 = 36 t = 4−-6-= − 1 ∨ t = 4-+-6-= 5. 2 2

t = − 1 nie daje żadnych rozwiązań (bo 2 t = x ≥ 0 ), a t = 5 daje dwa rozwiązania √ -- x = ± 5 .
Odpowiedź: √ -- √ -- x ∈ { − 5 , 5}