Konfiguracje na płaszczyznie - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania/Kombinatoryka/Konfiguracje na płaszczyznie

Wielokąt wypukły ma wierzchołków, n ≥ 3 , n ∈ N , spośród których losujemy jednocześnie dwa. Wyznacz , wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków wyznaczających przekątną tego wielokąta jest mniejsze od 4 5 .

Na niektórych polach szachownicy rozmiaru m × n ustawiono wieże. Wiadomo, że dowolna wieża znajduje się w polu rażenia co najwyżej dwóch innych wież. Wyznaczyć, w zależności od m ,n ≥ 2 , największą liczbę wież na szachownicy, dla której taka sytuacja jest możliwa.

Okrąg podzielono dwudziestoma punktami na dwadzieścia łuków tej samej długości. Ile można zbudować łamanych zamkniętych z wierzchołkami w tych punktach i z odcinkami równej długości? (Odcinki mogą się przecinać, ale nie mogą się pokrywać.)

Uzasadnić, że prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie n(n+-1) + 1 2 obszarów.