Uzasadnij, że suma długości wysokości w dowolnym trójkącie jest... Zadania.info: losowe zadanie, Wysokości, 4565116

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 18145 zadań, 1077 zestawów, 35 poradników

cornersUpL

cornersUpR

random

Linki sponsorowane

cornersR

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Wysokości

Zadanie nr 4565116

Uzasadnij, że suma długości wysokości w dowolnym trójkącie jest mniejsza od jego obwodu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta leżące naprzeciwko wierzchołków $A ,B$ i $C$ przez $a,b,c$ , a wysokości wychodzące z tych wierzchołków przez $h1,h2$ i $h3$ odpowiednio.

Wysokość $h1$ jest najkrótszym odcinkiem łączącym wierzchołek $A$ z prostą $BC$ , zatem $h 1 ≤ b$ i $h1 ≤ c$ . Dodając te nierówności stronami mamy

2h < b + c. 1

Nierówność jest ostra, bo $h 1$ nie może być jednocześnie równe $b$ i $c$ . Analogicznie uzasadniamy nierówności

2h < a + c 2 2h3 < a + b.

Dodając te trzy nierówności stronami, mamy

2h1 + 2h2 + 2h3 < 2a + 2b + 2c h1 + h 2 + h 3 < a+ b+ c.

Wersja PDF

Legalni bukmacherzy