Zadanie nr 4565116

Uzasadnij, że suma długości wysokości w dowolnym trójkącie jest mniejsza od jego obwodu.

Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta leżące naprzeciwko wierzchołków A ,B i przez a,b,c , a wysokości wychodzące z tych wierzchołków przez h1,h2 i odpowiednio.

Wysokość jest najkrótszym odcinkiem łączącym wierzchołek z prostą , zatem h 1 ≤ b i h1 ≤ c . Dodając te nierówności stronami mamy

2h < b + c. 1

Nierówność jest ostra, bo h 1 nie może być jednocześnie równe i . Analogicznie uzasadniamy nierówności

2h < a + c 2 2h3 < a + b.

Dodając te trzy nierówności stronami, mamy

2h1 + 2h2 + 2h3 < 2a + 2b + 2c h1 + h 2 + h 3 < a+ b+ c.