Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4565116

Uzasadnij, że suma długości wysokości w dowolnym trójkącie jest mniejsza od jego obwodu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy boki trójkąta leżące naprzeciwko wierzchołków A ,B i C przez a,b,c , a wysokości wychodzące z tych wierzchołków przez h1,h2 i h3 odpowiednio.


PIC


Wysokość h1 jest najkrótszym odcinkiem łączącym wierzchołek A z prostą BC , zatem h 1 ≤ b i h1 ≤ c . Dodając te nierówności stronami mamy

2h < b + c. 1

Nierówność jest ostra, bo h 1 nie może być jednocześnie równe b i c . Analogicznie uzasadniamy nierówności

2h < a + c 2 2h3 < a + b.

Dodając te trzy nierówności stronami, mamy

2h1 + 2h2 + 2h3 < 2a + 2b + 2c h1 + h 2 + h 3 < a+ b+ c.
Wersja PDF