Zadanie nr 1898792
Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są kolejnymi liczbami parzystymi. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 208. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie
Sposób I
Oznaczmy długości krawędzi prostopadłościanu przez .
![PIC](https://img.zadania.info/zad/1898792/HzadR1x.gif)
Z podanej informacji o polu powierzchni całkowitej mamy równanie
![2(x ⋅(x + 2) + x ⋅(x+ 4)+ (x+ 2)⋅(x + 4)) = 208 / : 2 2 2 2 x + 2x + x + 4x + x + 6x + 8 = 104 3x2 + 12x − 9 6 = 0 / : 3 2 x + 4x − 32 = 0.](https://img.zadania.info/zad/1898792/HzadR2x.gif)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe
![2 Δ = 16 + 12 8 = 144 = 12 −-4-−-12- −-4-+-12- x = 2 = − 8 lub x = 2 = 4.](https://img.zadania.info/zad/1898792/HzadR3x.gif)
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i krawędzie prostopadłościanu mają długości: 4, 6, 8. Obliczamy jego objętość.
![V = 4⋅6 ⋅8 = 19 2.](https://img.zadania.info/zad/1898792/HzadR4x.gif)
Sposób II
Tym razem oznaczmy długości krawędzi prostopadłościanu przez . Z podanej informacji o polu powierzchni całkowitej mamy równanie
![2((x − 2) ⋅x + (x − 2)⋅ (x+ 2)+ x⋅(x + 2)) = 208 / : 2 2 2 2 x − 2x + x − 4 + x + 2x = 104 3x2 = 1 08 / : 3 2 x = 36 ⇒ x = 6.](https://img.zadania.info/zad/1898792/HzadR6x.gif)
Objętość prostopadłościanu jest więc równa.
![V = 4⋅6 ⋅8 = 19 2.](https://img.zadania.info/zad/1898792/HzadR7x.gif)
Odpowiedź: 192