/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 9606162

Przekątna ściany bocznej prostopadłościanu ABCDEF GH tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze π3- . Przekątne i ścian bocznych tworzą kąt, którego cosinus jest równy √ - --3 4 , a krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie EBG .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy AE = a i BC = b .

W trójkącie prostokątnym ABE mamy

√ -- √ -- AE--= tg π- = 3 ⇒ a = 2 3 2 3 -2- π- 1- BE = cos 3 = 2 ⇒ BE = 4 .

Napiszmy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie EBG .

EG 2 = BE 2 + BG 2 − 2BE ⋅BG cos α √ -- ∘ -------√----- √ -- 22 + b2 = 42 + b2 + (2 3)2 − 2⋅ 4⋅ b2 + (2 3)2 ⋅--3- -∘ -------- -- 4 2√ 3 b2 + 12 = 24 / : 2√ 3 √ -- ∘ -2------ -24-- 12--3- √ -- 2 b + 12 = √ --= 3 = 4 3 /() 2 3 b2 + 12 = 48 ⇒ b = 6.

Stąd

∘ -2----2 √ ------- √ --- EG = 2 + b = 4+ 36 = 2 10 .

Obliczamy jeszcze sin α (żeby móc skorzystać z twierdzenia sinusów).

∘ ---------- ∘ ------- √ --- sin α = 1− cos2α = 1 − -3-= --13-. 16 4

Pozostało teraz skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie EBG .

√ --- √ --- √ ---- √ ---- 2R = -EG-- = 2√--10 = 8√--10 = 8--130- ⇒ R = 4--130. sinα --13 13 13 13 4

Odpowiedź: √ --- R = 4--130 13

Rozwiązanie Losuj ponownie