Zadanie nr 1380957

Wierzchołkami kwadratu ABCD są punkty o współrzędnych A (0,0) , B (4,0) , C (4,4) i D (0,4) . Dla każdej liczby rzczywistej m ∈ (− 2,4) rozważamy trójkąt o wierzchołkach Pm (m ,0 ) , Sm (m + 2,0 ) i Rm (m,4) . Wyznacz wszystkie wartości prametru , dla których pole ﬁgury, która jest częścią wspólną kwadratu ABCD i trójkąta PmSmRm wynosi 2.

Rozwiązanie

Gdy zaczniemy sobie rysować opisaną sytuację staje się jasne, że w zależności od wartości parametru mamy trzy możliwości.

Jeżeli m ∈ (− 2,0 ⟩ to część wspólna trójkąta PmSmRm i kwadratu jest trójkątem prostokątnym ASmTm . Jest jasne, że ASm = m + 2 a długość drugiej przyprostokątnej ATm możemy wyliczyć z podobieństwa trójkątów ASmTm i PmSmRm

ATm--= PmRm-- ASm PmSm ATm 4 ------= -- m + 2 2 ATm = 2(m + 2).

Pole tego trójkąta będzie równe 2 jeżeli

1-⋅(m + 2)⋅ 2(m + 2) = 2 2 (m + 2)2 = 2 √ -- √ -- m + 2 = 2 ∨ m + 2 = − 2 √ -- √ -- m = 2 − 2 ∨ m = − 2 − 2.

Drugi z tych pierwiastków odrzucamy, gdyż ma być m > −2 .

Wartość mogliśmy wyznaczyć znacznie prościej, zauważając, że z podobieństwa trójkątów ASmTm i PmSmRm wynika, że ten pierwszy będzie miał pole równe połowie pola drugiego tylko wtedy gdy skala podobieństwa jest √ -- 2 . Wtedy

1 2 √ -- √ -- ASm = m + 2 = √--PmSm = √---= 2 ⇒ m = 2 − 2. 2 2

Jeżeli m ∈ ⟨0,2 ⟩ to trójkąt P S R m m m jest całkowicie zawarty w kwadracie ABCD i pole stale jest równe 4.

Jeżeli m ∈ ⟨2 ,4 ) , to część wspólna podanych ﬁgur to trapez PmBTmRm . Możemy, jak w pierwszym przypadku, policzyć pole tego trapezu, ewentualnie możemy też policzyć pole trójkąta BSmTm . Najprościej jest jednak, tak jak w pierwszym przypadku, skorzystać z podobieństwa trójkątów PmSmRm i BSmTm . Aby pole tego drugiego było równe 2, musi być