Prostokąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

W prostokącie ABCD , w którym stosunek długości boków i jest równy 4:3, poprowadzono dwusieczne kątów ADB i BDC . Dwusieczne te przecinają boki i odpowiednio w punktach i . Oblicz stosunek pola prostokąta ABCD do pola trójkąta DKM .

Punkt jest środkiem boku prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt leży na boku tego prostokąta oraz ∡AEF = 90 . Udowodnij, że ∡BAE = ∡EAF .

Punkt leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2 .

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te dzielą przekątną na trzy części. Każda z nich jest odcinkiem o długości 4 cm. Oblicz pole tego prostokąta.

W prostokąt ABCD wpisany jest trójkąt równoboczny AKL (patrz rysunek). Wierzchołek leży na boku ( K ⁄= B i K ⁄= C ), wierzchołek leży na boku ( L ⁄= D i L ⁄= C ). Udowodnij, że pole powierzchni trójkąta KLC równe jest sumie pól trójkątów ABK i DLA .

Dany jest prostokąt ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej w punkcie . Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku w punkcie , a środek tego okręgu leży na odcinku , jak na rysunku.

Wykaż, że |MN | = |AD | .

W prostokącie ABCD wierzchołek połączono odcinkami ze środkami i boków i , zaś i to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną .

Uzasadnij, że odcinki i są jednakowej długości.
Uzasadnij, że trójkąty i mają równe pola.

Na bokach i prostokąta ABCD wybrano punkty i w ten sposób, że trójkąt DKL jest ostrokątny oraz |∡KDL | = α . Odcinek jest wysokością trójkąta DKL .

Wykaż, że |∡AMC | = 90 ∘ + α .

Punkt jest środkiem boku prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt jest takim punktem boku tego prostokąta, że prosta jest dwusieczną kąta DCE . Wykaż, że trójkąt CF E jest prostokątny.