/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Pięciokąt

Zadanie nr 1204933

Dany jest pięciokąt foremny ABCDE o boku długości . Wiedząc, że √- cos72 ∘ = -5−-1 4

wykaż, że długość przekątnej pięciokąta jest równa ;
oblicz długość promienia okręgu wpisanego w pięciokąt .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku i od razu zauważmy, że ∘ 360∘ 72 = 5 to dokładnie miara kąta środkowego ∡AOB .

Ponieważ
$BCD = 108∘ = 180 ∘ − 7 2∘$

to długość przekątnej możemy wyliczyć z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta .

$BD 2 = CB 2 + CD 2 − 2CB ⋅CD cos 108∘ 2 2 2 2 ∘ BD = a + a + 2a cos72 √ -- BD 2 = 2a 2 + a2--5−--1- √ -- 2 2 3+ 5 2 BD = -------a . 2$

Pozostało sprawdzić, czy liczba ta zgadza się z podaną wartością – liczymy jej kwadrat.

$( √ -- ) 2 √ -- √ -- 1-+---5-a = 1-+-2--5-+-5a 2 = 3+----5a2. 2 4 2$

Obie liczby są więc równe.
Odległość, którą mamy wyliczyć to odległość środka pieciokąta od jego boku. Można to zrobić na wiele różnych sposobów, my pokażemy trzy z nich.

Sposób I

Długość odcinka możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego , musimy jednak najpierw wyliczyć długość odcinka (do niczego nam to niepotrzebne, ale jest to promień okręgu opisanego na pięciokącie). Długość tego odcinka wyliczamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta

$AB 2 = AO 2 + BO 2 − 2AO ⋅ BO co s∡AOB 2 2 2 2 ∘ a = R + R − 2R cos72 ( √ -- ) a 2 = R2 2 − --5−--1- 2 √ -- a 2 = R2 ⋅ 5-−--5- 2 2a 2 R 2 = ----√--- 5 − 5 √ -- 2a 2(5+ 5) R 2 = ------------- 2 5− √5-- 2 2 5-+---5- R = a ⋅ 1 0 ∘ ----√--- 5+ 5 R = a --10----$

Liczymy teraz szukaną długość odcinka

$∘ ----------------- ∘ ------------ 5 + √ 5- 1 OS = AO 2 − AS 2 = --------a2 − -a2 = ∘ ---------------- 10∘ -------4- √ -- √ -- = a 1-0+-2---5− -5-= a 5-+-2---5. 20 20 2 0$

Sposób II

Podobnie jak poprzednio patrzymy na trójkąt prostokątny , ale tym razem wyliczymy tangens kąta . Aby to zrobić korzystamy ze wzorów

$2 co s2α = 2cos α− 1 co s2α = 1− 2 sin2α .$

Z tych wzorów mamy

$cos2 α = 1-(1+ cos2α ) 2 2 1 sin α = 2-(1− cos2α ) 2 tg2 α = -sin--α = 1-−-cos2-α. co s2α 1 + cos2 α$

Stąd

$---------- ┌│ √ 5− 1 ∘ ----√--- ∘ │∘ 1−----4--- 5-−---5- tg 36 = √-5−-1 = 3 + √ 5. 1+ 4$

I dalej

$AS tg3 6∘ = ---- ∘ -------OS 5 − √ 5 a ----√---= --- 3 + 5 2r ∘ ----√--- ∘ ------√--------√--- a- 3+--√-5- a- (3+----5)(5+----5)- r = 2 5− 5 = 2 25− 5 = ∘ ------√--- ∘ -----√--- a 20 + 8 5 a 5 + 2 5 = -- ----------= -- --------. 2 20 2 5$

Sposób III

Tym razem rozpatrzmy trójkąt równoramienny , gdzie i to środki kolejnych boków pięciokąta.

Dwa z jego boków są równe promieniowi okręgu wpisanego w pięciokąt, a trzeci bok ma długość równą połowie przekątnej. Ponieważ prosta zawiera wysokość tego trójkąta, mamy

$-A4C- ∘ --AC----- r = sin 36 ⇒ r = 4 sin 36∘.$

Długość przekątnej wyliczyliśmy w poprzednim punkcie, pozostało więc wyliczyć . Zrobimy to korzystając ze wzoru

$cos 2α = 1 − 2 sin 2α.$

Dla mamy

$√ ------------- ∘ -----√------- ∘ ------√--- 4 sin 36∘ = 8 − 8 cos 72∘ = 8 − 2 5 + 2 = 10 − 2 5 .$

Stąd mamy

$√- ∘ ------√------ ∘ ------√---- 1+--5a (1 + 5)2 3 + 5 r = ∘---2---√---= a --------√---- = a ------√----= ∘ 10−--2--5-------4(10 − 2∘ -5)-------4(5−∘ --5)----- √ -- √ -- √ -- √ -- =a (3+----5)(5+----5)-= a 20-+-8--5-= a 5-+-2---5. 4 ⋅20 4 ⋅20 2 0$

Odpowiedź:
Dla ciekawskich.
Ponieważ pole pięciokąta jest równe , więc

$∘ --------- √ -- 2∘ -------√--- P = 5 ⋅ 1-⋅a⋅ a 5-+-2--5-= a-- 25 + 10 5. ABCDE 2 20 4$

Liczba , która pojawiła się w treści zadania to tak zwana złota liczba, ma ona wiele interesujących własności. Polecam wygooglać sobie ’pięciokąt foremy’, ’złoty podział’ lub ’golden ratio’.

Rozwiązanie Losuj ponownie