Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1557231

Oblicz sumę miar kątów utworzonych przez przekątne pięciokąta wypukłego.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Zauważmy, że przy użyciu oznaczonych kątów α,β,γ ,δ,𝜀 łatwo wyznaczyć kąty wewnętrzne pięciokąta P QRST .


PIC


Mamy więc

 ∘ ∡T PQ = ∡EP C = 180 − 𝜀 − γ ∡P QR = ∡AQD = 180∘ − α − δ ∘ ∡QRS = ∡BRE = 180 − β − 𝜀 ∡RST = ∡CSA = 180 ∘ − α − γ ∘ ∡ST P = ∡DT B = 18 0 − β− δ.

Teraz korzystamy z tego, że suma kątów w pięciokącie P QRST jest równa

(5 − 2) ⋅180∘ = 540∘.

Mamy zatem

 ∘ 540 = ∡T P Q + ∡P QR + ∡QRS + ∡RST + ∡ST P = = 5⋅ 180∘ − 2(α + β + γ + δ + 𝜀).

Stąd

2(α+ β+ γ + δ + 𝜀) = 900∘ − 54 0∘ = 360∘ ∘ α+ β+ γ + δ + 𝜀 = 180 .

 
Odpowiedź:  ∘ 180

Wersja PDF