Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Cztery miasta i znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. Jeden z węzłów ma ma być połączony z miastami i , a drugi węzeł z miastami i (zobacz rysunek).

Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci.

Punkt należy do okręgu opisanego na kwadracie . Wykaż, że wyrażenie ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu .

Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: i , przy czym punkty i należą do odcinków i odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu i przechodzi przez punkt . Wykaż, że jeżeli , to promień okręgu jest równy .

Na zewnątrz kwadratu na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne i . Uzasadnij, że proste i są prostopadłe.