Zadanie nr 1980227
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych ,
i
, funkcja
![f(x ) = (x− a)(x − b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a)](https://img.zadania.info/zad/1980227/HzadT3x.gif)
ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształćmy dany wzór funkcji tak, aby obliczyć -ę.
![f(x) = (x− a)(x− b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a) = = x2 − ax− bx + ab + x2 − bx − cx + bc + x2 − ax − cx + ca = = 3x2 − (2a+ 2b + 2c)x + (ab + bc + ca).](https://img.zadania.info/zad/1980227/HzadR1x.gif)
Liczymy -ę.
![2 Δ = (2a + 2b + 2c) − 12(ab + bc + ca) = = 4a2 + 4b2 + 4c2 − 4ab − 4bc − 4ca = 2 2 2 = 2((a − b) + (b− c) + (c − a) ).](https://img.zadania.info/zad/1980227/HzadR3x.gif)
Ponieważ , równanie ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Sposób II
Aby wykazać, że funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe wystarczy pokazać, że przyjmuje ona zarówno wartość dodatnią jak i ujemną (tak naprawdę, do uzasadnienia tego potrzebna jest ciągłość funkcji wielomianowej, ale ponieważ ciągłość wyleciała z programu szkolnego, więc nie będziemy się nad tym rozwodzić).
Jeżeli założymy, że (gdyby kolejność była inna to możemy zmienić nazwy literek) to
![f(a) = (a − a)(a − b) + (a − b)(a − c)+ (a− c)(a− a ) = (a− b)(a− c) ≥ 0 f(b) = (b − a)(b − b) + (b − b)(b − c)+ (b− c)(b− a) = (b− c)(b− a) ≤ 0.](https://img.zadania.info/zad/1980227/HzadR6x.gif)
Widać więc, że funkcja musi przecinać oś .